上海高考理科数学试卷真题试卷答案解析【word文字版下载】

2022-02-06 00:54:08华夏高考网

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上海市高考数学试卷

一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1.已知集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5},则A∩B= .

{3,4} 【解析】∵集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5},∴A∩B={3,4}.

2.(2017年上海)若排列数Am

6=6×5×4,则m= .

2.3 【解析】∵排列数Am

6=6×5×…×(6-m+1),∴6-m+1=4,即m=3.

3.(2017年上海)不等式x-1x

>1的解集为 .

3.(-∞,0) 【解析】由x-1x>1,得1-1x>1,则1

x<0,解得x<0,即原不等式的解集为(-∞,0).

4.(2017年上海)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 .

4.9π 【解析】设球的半径为R,则由球的体积为36π,可得4

3πR3=36π,解得R=3.该球的主

视图是半径为3的圆,其面积为πR2=9π.

5.(2017年上海)已知复数z满足z+3

z

=0,则|z|= .

5.3 【解析】由z+3

z=0,可得z2+3=0,即z2=-3,则z=±3i,|z|=3.

6.(2017年上海)设双曲线x29-y2

b2=1(b>0)的焦点为F1,F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,

则|PF2|= .

6.11 【解析】双曲线x29-y2

b2=1中,a=9=3,由双曲线的定义,可得||PF1|-|PF2||=6,又|PF1|=5,

解得|PF2|=11或?1(舍去),故|PF2|=11. 7.(2017年上海)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若向量→DB1的坐标为(4,3,2),则向量→AC1的坐标是 .

7.(-4,3,2) 【解析】由→DB1

的坐标为(4,3,2),可得A(4,0,0),C(0,3,2),D1(0,0,2)

则C1(0,3,2),∴→AC1=(?4,3,2).

8.(2017年上海)定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)的反函数为y=f?1

(x),若g(x)=

3x-1,x≤0,

f(x),x>0

为奇函数,则f-1(x)=2的解为 .

8.8

9 【解析】g(x)=3x-1,x≤0,f(x),x>0

为奇函数,可得当x>0时,?x<0,即有g(x)=-g(?x)=-(3-x-1)=1-3-x,则f(x)=1-3-x.由f-1(x)=2,可得x=f(2)=1-3-2=89,即f-1(x)=2的解为89.

9.(2017年上海)已知四个函数:①y=-x,②y=-1x

,③y=x3

,④y=x1

2,从中任选2个,则事

件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .

9.12

【解析】从四个函数中任选2个,基本事件总数n=C2

4=6,“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③,①④,共2个,∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=26=1

3

.

10.(2017年上海)已知数列{an}和{bn},其中an=n2,n∈N*,{bn}的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N*,{bn}的第an项等于{an}的第bn项,则lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)

=

10.2 【解析】∵an=n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn

项,∴ban=abn=b2n.∴b1=b12,b4=b22,b9=b32,b16=b42.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2,lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)

=2.

11.(2017年上海)设α1,α2∈R且12+sin α1+1

2+sin 2α2=2,则|10π-α1-α2|的最小值等于 .

11.π4 【解析】由-1≤sin α1≤1,可得1≤2+sin α1≤3,则13≤12+sin α1≤1.同理可得13≤12+sin 2α2≤1.要使12+sin α1+12+sin 2α2=2,则12+sin α1=12+sin 2α2=1,即sin α1=sin 2α2=-1.所以α1=2k1π-π2,

2α2=2k2π-π2,k1,k2∈Z.所以|10π-α1-α2|=|10π-(2k1π-π2)-(k2π-π4)|=|10π+3π

4-(2k1+k2)π|,

当2k1+k2=11时,|10π-α1-α2|取得最小值π

4

.

12.(2017年上海)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P1,P2,P3,P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω={P1,P2,P3,P4},点P∈Ω,过P作直线lP,使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和.若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)=D2(lP),则Ω中所有这样的P为 .

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12.P1,P3,P4 【解析】设记为“▲”的四个点为A,B,C,D,线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示,四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2,则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线lP.因此经过点P2的符合条件的直线lP有无数条;经过点P1,P3,P4的符合条件的直线lP各有1条,即直线P2P1,P2P3,P2P4.故Ω中所有这样的P为P1,P3.P4.

二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)

13.(2017年上海)关于x,y的二元一次方程组x+5y=0,

2x+3y=4

的系数行列式D为( )

A.0 54 3 B.

1 02 4 C.

1 52 3 D.

6 05 4

13.C 【解析】关于x,y的二元一次方程组x+5y=0,

2x+3y=4

的系数行列式D=

.故选C.

14.(2017年上海)在数列{an}中,an=(-1

2)n,n∈N*,则limn→∞ an( )

A.等于-12 B.等于0 C.等于1

2

D.不存在

14.B 【解析】数列{an}中,an=(-12)n,n∈N*,则limn→∞an=limn

→∞

(-12)n

=0.故选B.

15.(2017年上海)已知a,b,c为实常数,数列{xn}的通项xn=an2+bn+c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列”的一个必要条件是( ) A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a-2b+c=0

15.A 【解析】存在k∈N*,使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列,可得2[a(200+k)2+b(200+k)+c]=a(100+k)2+b(100+k)+c+a(300+k)2+b(300+k)+c,化简得a=0,∴使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列的必要条件是a≥0.故选A.

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16.(2017年上海)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x236+y24=1和C2:x2+y2

9

=1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是→OP?→OQ的最大值.记Ω={(P,Q)|P在C1上,Q在C2上且→OP?→OQ=w},则Ω中的元素有( ) A.2个

B.4个

C.8个

D.无穷个

16.D 【解析】P为椭圆C1:x236+y24=1上的动点,Q为C2:x2+y2

9

=1上的动点,可设P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),α,β∈[0,2π],则→OP?→OQ=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos(α-β),当α-β=2kπ,k∈Z时,→OP?→OQ取得最大值w=6,即使得→OP?→OQ=w的点对(P,Q)有无穷多对,Ω中的元素有无穷个.

三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分) 17.(2017年上海)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5. (1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;

(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.

17.【解析】(1)∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形, 两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.

∴三棱柱ABC?A1B1C1的体积V=S△ABC?AA1=12AB?AC?AA1=1

2×4×2×5=20.(2)连接

AM.

∵直三棱柱ABC-A1B1C1, ∴AA1⊥底面ABC.

∴∠AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.

∵△ABC是直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,点M是BC的中点, ∴AM=12BC=1

2

×42+22=5.

由AA1⊥底面ABC,可得AA1⊥AM,

∴tan∠A1MA=AA1AM=5

5

=5.

∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan5

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18.(2017年上海)已知函数f(x)=cos2x?sin2x+1

2,x∈(0,π).

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a=19,角B所对边b=5,若f(A)=0,求△ABC的面积.

18.【解析】(1)函数f(x)=cos2x-sin2x+12=cos 2x+1

2,x∈(0,π).

由2kπ-π≤2x≤2kπ,解得kπ?π

2

≤x≤kπ,k∈Z. k=1时,π

2

≤x≤π,

可得f(x)的增区间为[π

2,π).

(2)f(A)=0,即有cos2A+1

2=0,

解得2A=2kπ±2π

3.

又A为锐角,故A=π

3.

又a=19,b=5,

由正弦定理得sinB=bsinAa=55738,则cosB=19

38.

所以sinC=sin(A+B)=

32×1938+12×55738=35738

. 所以S△ABC=12absinC=12×19×5×35738=153

4

.

19.(2017年上海)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为

an和bn(单位:辆),其中an=5n4+15,1≤n≤3,

-10n+470,n≥4,

bn=n+5,第n个月底的共享单车的保有量

是前n个月的累计投放量与累计损失量的差. (1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;

(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4(n?46)2+8800(单位:辆),设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量? 19.【解析】(1)前4个月共享单车的累计投放量为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965, 前4个月共享单车的累计损失量为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30, ∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965?30=935. (2)令an≥bn,显然n≤3时恒成立,

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当n≥4时,有?10n+470≥n+5,解得n≤465

11

∴第42个月底,保有量达到最大.

当n≥4,{an}为公差为?10等差数列,而{bn}为公差为1的等差数列,

∴到第42个月底,共享单车保有量为a4+a422×39+535-b1+b422×42=430+502×39+535-6+47

42=8782.

又S42=?4×(42-46)2+8800=8736, 8782>8736,

∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量.

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当n≥4时,有?10n+470≥n+5,解得n≤465

11

∴第42个月底,保有量达到最大.

当n≥4,{an}为公差为?10等差数列,而{bn}为公差为1的等差数列,

∴到第42个月底,共享单车保有量为a4+a422×39+535-b1+b422×42=430+502×39+535-6+47

42=8782.

又S42=?4×(42-46)2+8800=8736, 8782>8736,

∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量.

20.(2017年上海)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ:x24+y2

=1,A为Γ的上顶点,P

为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点. (1)若P在第一象限且|OP|=2,求P的坐标;

(2)设P(85,3

5

),若以A,P,M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标;

(3)若|MA|=|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C且→AQ=2→AC,→PQ=4→PM,求直线AQ的方程. 20.【解析】(1)设P(x,y)(x>0,y>0),

由点P在椭圆Γ:x2

4+y2

=1上且|OP|=2,可得x2

4+y2=1,x2+y2

=2,

解得x2=43,y2=23,则P(233,6

3).

(2)设M(x0,0),A(0,1),P(85,3

5

).

若∠P=90°,则→PA•→PM=0,即(-85,25)•(x0?85,?35)=0, ∴(?85)x0+6425-625=0,解得x0=29

20

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若∠M=90°,则→MA•→MP=0,即(?x0

,1)•(85?x0,35)=0, ∴x02-8

5x0+35

=0,解得x0=1或x0=35.

若∠A=90°,则M点在x轴负半轴,不合题意. ∴点M的横坐标为2920或1或3

5

(3)设C(2cosα,sinα), ∵→AQ=2→AC,A(0,1),

∴Q(4cosα,2sinα?1).

又设P(2cosβ,sinβ),M(x0,0),

∵|MA|=|MP|,∴x02+1=(2cosβ?x0)2+(sinβ)2, 整理得x0=3

4

cosβ.

∵→PQ=(4cosα?2cosβ,2sinα?sinβ?1),→PM=(-54cosβ,?sinβ),→PQ=4→PM

, ∴4cosα?2cosβ=?5cosβ,2sinα?sinβ?1=?4sinβ. ∴cosβ=?43cosα,sinβ=1

3

(1?2sinα).

以上两式平方相加,整理得3(sinα)2+sinα?2=0, ∴sinα=2

3

或sinα=?1(舍去).

此时,直线AC的斜率kAC=sinα-12cosα=5

10(负值已舍去),如图.

∴直线AQ的方程为为y=

5

10

x+1.

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21.(2017年上海)设定义在R上的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2).

(1)若f(x)=ax3+1,求a的取值范围;

(2)若f(x)是周期函数,证明:f(x)是常值函数;

(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)=f(x)g(x).证明:“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”. 21.【解析】(1)由f(x1)≤f(x2),得f(x1)?f(x2)=a(x13?x23)≤0, ∵x1<x2,∴x13?x23<0,得a≥0. 故a的取值范围是[0,+∞).

(2)证明:若f(x)是周期函数,记其周期为Tk,任取x0∈R,则有 f(x0)=f(x0+Tk).

由题意,对任意x∈[x0,x0+Tk],f(x0)≤f(x)≤f(x0+Tk), ∴f(x0)=f(x)=f(x0+Tk). 又∵f(x0)=f(x0+nTk),n∈Z,并且

…∪[x0?3Tk,x0?2Tk]∪[x0?2Tk,x0?Tk]∪[x0?Tk,x0]∪[x0,x0+Tk]∪[x0+Tk,x0+2Tk]∪…=R,

∴对任意x∈R,f(x)=f(x0)=C,为常数.

(3)证明:(充分性)若f(x)是常值函数,记f(x)=c1,设g(x)的一个周期为Tg,则h(x)=c1•g(x),对任意x0∈R,h(x0+Tg)=c1•g(x0+Tg)=c1•g(x0)=h(x0),故h(x)是周期函数.

(必要性)若h(x)是周期函数,记其一个周期为Th.

若存在x1,x2,使得f(x1)>0,且f(x2)<0,则由题意可知, x1>x2,那么必然存在正整数N1,使得x2+N1Tk>x1,