南宁中考数学试卷答案解析及word文字版下载(难度系数点评)
2021-05-05 07:29:57华夏高考网2017年南宁中考数学试卷答案解析及word文字版下载(难度系数点评)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.?2的相反数是( )
A.?2B.0C.2D.4
2.把一个正六棱柱如图1摆放,光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A.B.C.D.
3.据《南国早报》报道:广西高考报名人数约为332000人,创历史新高,其中数据332000用科学记数法表示为( )
A.0.332×106B.3.32×105C.3.32×104D.33.2×104
4.已知正比例函数y=3x的图象经过点(1,m),则m的值为( )
A.B.3C.?D.?3
5.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分,其中研究性学习成绩占40%,期末卷面成绩占60%,小明的两项成绩(百分制)依次是80分,90分,则小明这学期的数学成绩是( )
A.80分B.82分C.84分D.86分
6.如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米
7.下列运算正确的是( )
A.a2?a=aB.ax+ay=axyC.m2•m4=m6D.(y3)2=y5
8.下列各曲线中表示y是x的函数的是( )
A.B.C.D.
9.如图,点A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为( )
A.140°B.70°C.60°D.40°
10.超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降价打“八折”,第二次降价每个又减10元,经两次降价后售价为90元,则得到方程( )
A.0.8x?10=90B.0.08x?10=90C.90?0.8x=10D.x?0.8x?10=90
11.有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2等于( )
A.1:B.1:2C.2:3D.4:9
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b?)x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.若二次根式有意义,则x的取值范围是 .
14.如图,平行线AB,CD被直线AE所截,∠1=50°,则∠A= .
15.分解因式:a2?9= .
16.如图,在4×4正方形网格中,有3个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意一个白色的小正方形(2016•南宁)如图所示,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为 .
18.观察下列等式:
在上述数字宝塔中,从上往下数,2016在第 层.
三、解答题(本大题共8小题,共66分)
19.计算:|?2|+4cos30°?()?3+.
20.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
21.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,?4)
(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
22.在图“书香八桂,阅读圆梦”读数活动中,某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目(2016•南宁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.
24.在南宁市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单独施工30天后增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的.
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是,甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a关于m的函数关系式,并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍?
25.已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
26.如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x?2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
广西南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.?2的相反数是( )
A.?2B.0C.2D.4
【考点】相反数.
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.
【解答】解:?2的相反数是2.
故选C.
【点评】本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
2.把一个正六棱柱如图1摆放,光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A.B.C.D.
【考点】平行投影.
【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解.
【解答】解:把一个正六棱柱如图摆放,光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形.
故选A.
【点评】本题考查了平行投影特点,不同位置,不同时间,影子的大小、形状可能不同,具体形状应按照物体的外形即光线情况而定.
3.据《南国早报》报道:广西高考报名人数约为332000人,创历史新高,其中数据332000用科学记数法表示为( )
A.0.332×106B.3.32×105C.3.32×104D.33.2×104
【考点】科学记数法?表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将332000用科学记数法表示为:3.32×105.
故选:B.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.已知正比例函数y=3x的图象经过点(1,m),则m的值为( )
A.B.3C.?D.?3
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】本题较为简单,把坐标代入解析式即可求出m的值.
【解答】解:把点(1,m)代入y=3x,可得:m=3,
故选B
【点评】此题考查一次函数的问题,利用待定系数法直接代入求出未知系数m,比较简单.
5.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分,其中研究性学习成绩占40%,期末卷面成绩占60%,小明的两项成绩(百分制)依次是80分,90分,则小明这学期的数学成绩是( )
A.80分B.82分C.84分D.86分
【考点】加权平均数.
【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案.
【解答】解:
由加权平均数的公式可知===86,
故选D.
【点评】本题主要考查加权平均数的计算,掌握加权平均数的公式=是解题的关键.
6.如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米,在Rt△ABD中,利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度.
【解答】解:∵AB=AC,AD⊥BC,BC=10米,
∴DC=BD=5米,
在Rt△ADC中,∠B=36°,
∴tan36°=,即AD=BD•tan36°=5tan36°(米).
故选:C.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
7.下列运算正确的是( )
A.a2?a=aB.ax+ay=axyC.m2•m4=m6D.(y3)2=y5
【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.
【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算,然后选择正确答案.
【解答】解:A、a2和a不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B、ax和ay不是同类项,不能合并,故本选项错误;
C、m2•m4=m6,计算正确,故本选项正确;
D、(y3)2=y6≠y5,故本选项错误.
故选C.
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识,解答本题的关键在于掌握各知识点的运算法则.
8.下列各曲线中表示y是x的函数的是( )
A.B.C.D.
【考点】函数的概念.
【分析】根据函数的意义求解即可求出答案.
【解答】解:根据函数的意义可知:对于自变量x的任何值,y都有唯一的值与之相对应,故D正确.
故选D.
【点评】主要考查了函数的定义.注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是:做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.
9.如图,点A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为( )
A.140°B.70°C.60°D.40°
【考点】圆周角定理.
【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数,再由圆周角定理即可得出结论.
【解答】解:∵CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,
∴∠DOE=180°?40°=140°,
∴∠P=∠DOE=70°.
故选B.
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
10.超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降价打“八折”,第二次降价每个又减10元,经两次降价后售价为90元,则得到方程( )
A.0.8x?10=90B.0.08x?10=90C.90?0.8x=10D.x?0.8x?10=90
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】设某种书包原价每个x元,根据题意列出方程解答即可.
【解答】解:设某种书包原价每个x元,可得:0.8x?10=90,
故选A
【点评】本题考查一元一次方程,解题的关键是明确题意,能列出每次降价后的售价.
11.有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2等于( )
A.1:B.1:2C.2:3D.4:9
【考点】正方形的性质.
【分析】设小正方形的边长为x,再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系,然后进行计算即可得出答案.
【解答】解:设小正方形的边长为x,根据图形可得:
∵=,
∴=,
∴=,
∴S1=S正方形ABCD,
∴S1=x2,
∵=,
∴=,
∴S2=S正方形ABCD,
∴S2=x2,
∴S1:S2=x2:x2=4:9;
故选D.
【点评】此题考查了正方形的性质,用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式,关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系.
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b?)x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,设方程ax2+(b?)x+c=0(a≠0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.
【解答】解:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,
∵由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,
∴?>0.
设方程ax2+(b?)x+c=0(a≠0)的两根为a,b,则a+b=?=?+,
∵a>0,
∴>0,
∴a+b>0.
故选C.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.若二次根式有意义,则x的取值范围是 x≥1 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式的性质可知,被开方数大于等于0,列出不等式即可求出x的取值范围.
【解答】解:根据二次根式有意义的条件,x?1≥0,
∴x≥1.
故答案为:x≥1.
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件,只要保证被开方数为非负数即可.
14.如图,平行线AB,CD被直线AE所截,∠1=50°,则∠A= 50° .
【考点】平行线的性质.
【分析】根据两直线平行,同位角相等可得∠1=∠A.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠A=∠1,
∵∠1=50°,
∴∠A=50°,
故答案为50°.
【点评】本题主要考查了平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行,同位角相等.
15.分解因式:a2?9= (a+3)(a?3) .
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案.
【解答】解:a2?9=(a+3)(a?3).
故答案为:(a+3)(a?3).
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用平方差公式是解题关键.
16.如图,在4×4正方形网格中,有3个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意一个白色的小正方形(2016•南宁)如图所示,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为 2 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】过D作DE⊥OA于E,设D(m,),于是得到OA=2m,OC=,根据矩形的面积列方程即可得到结论.
【解答】解:过D作DE⊥OA于E,
设D(m,),
∴OE=m.DE=,
∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点,
∴OA=2m,OC=,
∵矩形OABC的面积为8,
∴OA•OC=2m•=8,
∴k=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,矩形的性质,根据矩形的面积列出方程是解题的关键.
18.观察下列等式:
在上述数字宝塔中,从上往下数,2016在第 44 层.
【考点】规律型:数字的变化类.
【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数;发现第一个数分别是每一层层数的平方,那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可,通过计算可知:442<2016<452,则2016在第44层.
【解答】解:第一层:第一个数为12=1,最后一个数为22?1=3,
第二层:第一个数为22=4,最后一个数为23?1=8,
第三层:第一个数为32=9,最后一个数为24?1=15,
∵442=1936,452=2025,
又∵1936<2016<2025,
∴在上述数字宝塔中,从上往下数,2016在第44层,
故答案为:44
【点评】本题考查了数学变化类的规律题,这类题的解题思路是:①从第一个数起,认真观察、仔细思考,能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示;②利用方程来解决问题,先设一个未知数,找到符合条件的方程即可;本题以每一行的第一个数为突破口,找出其规律,得出结论.
三、解答题(本大题共8小题,共66分)
19.计算:|?2|+4cos30°?()?3+.
【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简,进而求出答案.
【解答】解:原式=2+4×?8+2
=4?6.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键.
20.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
【解答】解:,
解①得x≤1,
解②得x>?3,
,
不等式组的解集是:?3<x≤1.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
21.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,?4)
(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
【考点】作图-位似变换;作图-平移变换.
【分析】(1)将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1;
(2)连接OA、OC,分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2,求出直线AC与OB的交点,求出∠ACB的正弦值即可解决问题.
【解答】解:(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1,如图1所示,
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2,如图2所示,
∵A(2,2),C(4,?4),B(4,0),
∴直线AC解析式为y=?3x+8,与x轴交于点D(,0),
∵∠CBD=90°,
∴CD==,
∴sin∠DCB===.
∵∠A2C2B2=∠ACB,
∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=.
【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识,锐角三角函数等知识,解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念,记住锐角三角函数的定义,属于中考常考题型.
22.在图“书香八桂,阅读圆梦”读数活动中,某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目(2016•南宁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.
【考点】切线的判定.
【专题】计算题;与圆有关的位置关系.
【分析】(1)连接OD,由BD为角平分线得到一对角相等,根据OB=OD,等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,进而确定出OD与BC平行,利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径,即可得证;
(2)由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似,由相似得比例求出OA的长,进而确定出AB的长,连接EF,过O作OG垂直于BC,利用勾股定理求出BG的长,由BG+GC求出BC的长,再由三角形BEF与三角形BAC相似,由相似得比例求出BE的长即可.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵BD为∠ABC平分线,
∴∠1=∠2,
∵OB=OD,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OD∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠ODA=90°,
则AC为圆O的切线;
(2)解:过O作OG⊥BC,
∴四边形ODCG为矩形,
∴GC=OD=OB=10,OG=CD=8,
在Rt△OBG中,利用勾股定理得:BG=6,
∴BC=BG+GC=6+10=16,
∵OD∥BC,
∴△AOD∽△ABC,
∴=,即=,
解得:OA=,
∴AB=+10=,
连接EF,
∵BF为圆的直径,
∴∠BEF=90°,
∴∠BEF=∠C=90°,
∴EF∥AC,
∴=,即=,
解得:BE=12.
【点评】此题考查了切线的判定,相似三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.
24.在南宁市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单独施工30天后增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的.
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是,甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a关于m的函数关系式,并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍?
【考点】一次函数的应用;分式方程的应用.
【分析】(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,根据题意得方程即可得到结论;
(2)根据题意得(+)×40=,即可得到a=60m+60,根据一次函数的性质得到=,即可得到结论.
【解答】解:(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,
根据题意得×(30+15)+×15=,
解得:x=450,
经检验x=450是方程的根,
答:乙队单独完成这项工程需要450天;
(2)根据题意得(+)×40=,
∴a=60m+60,
∵60>0,
∴a随m的增大增大,
∴当m=1时,最大,
∴=,
∴÷=7.5倍,
答:乙队的最大工作效率是原来的7.5倍
【点评】此题考查了一次函数的实际应用.分式方程的应用,解题的关键是理解题意,能根据题意求得函数解析式,注意数形结合与方程思想的应用.
25.已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形.
(2)欲证明BE=CF,只要证明△BAE≌△CAF即可.
(3)过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,根据FH=CF•cos30°,因为CF=BE,只要求出BE即可解决问题.
【解答】(1)解:结论AE=EF=AF.
理由:如图1中,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,
∵∠EAF=60°,
∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,
∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF.
(2)证明:如图2中,∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAE,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF,
∴BE=CF.
(3)解:过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°,
在RT△AGB中,∵∠ABC=60°AB=4,
∴BG=2,AG=2,
在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=2,
∴EB=EG?BG=2?2,
∵△AEB≌△AFC,
∴AE=AF,EB=CF=2?2,∠AEB=∠AFC=45°,
∵∠EAF=60°,AE=AF,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°,∠AEF=60°,
∴∠CEF=∠AEF?∠AEB=15°,
在RT△EFH中,∠CEF=15°,
∴∠EFH=75°,
∵∠AFE=60°,
∴∠AFH=∠EFH?∠AFE=15°,
∵∠AFC=45°,∠CFH=∠AFC?∠AFH=30°,
在RT△CHF中,∵∠CFH=30°,CF=2?2,
∴FH=CF•cos30°=(2?2)•=3?.
∴点F到BC的距离为3?.
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考压轴题.
26.如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x?2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)可设顶点式,把原点坐标代入可求得抛物线解析式,联立直线与抛物线解析式,可求得C点坐标;
(2)分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°,可证得结论;
(3)设出N点坐标,可表示出M点坐标,从而可表示出MN、ON的长度,当△MON和△ABC相似时,利用三角形相似的性质可得=或=,可求得N点的坐标.
【解答】解:
(1)∵顶点坐标为(1,1),
∴设抛物线解析式为y=a(x?1)2+1,
又抛物线过原点,
∴0=a(0?1)2+1,解得a=?1,
∴抛物线解析式为y=?(x?1)2+1,
即y=?x2+2x,
联立抛物线和直线解析式可得,解得或,
∴B(2,0),C(?1,?3);
(2)如图,分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,
则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,
∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,?x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|?x2+2x|,
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=,BC=3,
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=,
①当=时,则有=,即|x||?x+2|=|x|,
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形,
∴x≠0,
∴|?x+2|=,即?x+2=±,解得x=或x=,
此时N点坐标为(,0)或(,0);
②当=时,则有=,即|x||?x+2|=3|x|,
∴|?x+2|=3,即?x+2=±3,解得x=5或x=?1,
此时N点坐标为(?1,0)或(5,0),
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(,0)或(,0)或(?1,0)或(5,0).
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在(1)中注意顶点式的运用,在(3)中设出N、M的坐标,利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键,注意相似三角形点的对应.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.
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